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数字信号处理复习提纲

本文档仅用于复习蒋武杨老师的课程《数字信号处理》。参考书本为《数字信号处理（第五版）》9787560664828。

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绪论

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P2

数字信号处理的实现方法，分为软件实现方法和硬件实现方法：

• 软件实现方法指的是按照原理和算法，自己编写程序或者采用现成的程序在通用计算机上实现；
• 用单片机实现的方法属于软硬结合实现…采用专用的数字信号处理芯片（DSP芯片）是目前发展最快、应用最广的一种方法；
• 对于更高速的实时系统，DSP的速度也不满足要求时，应采用可编程超大规模器件或开发专用芯片来实现。

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第1章

时域离散信号和时域离散系统

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P4

如果信号的 自变量 和 函数值 都是 连续值 ，则称这种信号为 模拟信号 ，或者称为 时域连续信号 ，例如语言信号、温度信号等；

如果 自变量 取 离散值 ， 而 函数值 取 连续值 ， 则称这种信号为 时域离散信号 ，这种信号通常来源于对模拟信号的采样；

如果信号的 自变量 和 函数值 均取 离散值 ， 则称为 数字信号 。

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P5

信号有模拟信号、时域离散信号和数字信号之分，按照系统的输入输出信号的类型，系统也分为模拟系统、时域离散系统和数字系统。

数字信号处理最终要处理的是数字信号，但为简单，在理论研究中一般研究时域离散信号和系统。

假设模拟信号$x_a(t)$，在离散时间点$t_n$对它进行采样，得到$x_a(t_n)$，$n$为整数。$x_a(t_n)$是离散时间变量$t_n$的函数，仅在离散时间点$t_n$上有意义，而在其他时间则没有定义。在实际应用中，通常采样间隔为常数$T$，即$t_n=nT$。这种采样称为等间隔采样（均匀采样），采样得到的信号记为

$$x[n]=x_a(t){|}_{t=nT}=x_a(nT)-\infty <n<\infty$$

按照国际通用惯例，模拟信号的$(t)$用圆括号，而数字信号的$[n]$用方括号。方括号用来提醒读者：方括号里的自变量$n$只取整数。

至于在考试时，圆括号和方括号都算对。

显然$x[n]$是一个有序的数字集合，因此时域离散信号也可以称为序列。

时域离散信号有三种表示方法

1. 用集合符号表示序列
2. 用公式表示序列
3. 用图形表示序列

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P7

单位脉冲序列$\delta$(n)

$$\delta (n)=\{\begin{array}{ll}1,& n=0\\ 0,& n\ne 0\end{array}$$

单位脉冲序列也称为单位采样序列，在《信号与系统》书中成为单位序列。

矩形序列$R_N(n)$

$$R_N(n)=\{\begin{array}{ll}1& 0\le n\le N-1\\ 0& \text{其他}n\end{array}$$

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P8

正弦序列

$$x(n)=sin(\omega n)$$

式中，$\omega$称为正弦序列的数字域频率（也称数字频率），单位是弧度（rad），它表示序列变化的速率，或者说表示相邻两个序列值之间相位变化的弧度数。

在《信号与系统》书中，把数字域频率称为数字角频率。

如果正弦序列是由模拟信号$x_a(t)$采样得到的，那么

$$\begin{gathered} x_a(t)=sin(\Omega t)=sin(2\pi ft) \\ x(n)=x_a(t){|}_{t=nT}=sin(\Omega nT)=sin(\omega n) \end{gathered}$$

$\omega$与模拟角频率$\Omega$之间的关系为

$$\omega =\Omega T$$

上述公式具有普遍意义，它表示凡是由模拟信号采样得到的序列，模拟角频率$\Omega$与序列的数字域频率$\omega$呈线性关系。由于采样频率$F_s$与采样周期$T$互为倒数，因而有

$$\omega =\frac{\Omega }{F_s}=2\pi \frac{f}{F_s}$$

上式表示数字域频率是模拟角频率对采样频率的归一化频率。本书中用$\omega$表示数字域频率，$\Omega$和$f$分别表示模拟角频率和模拟频率。

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P9

负指数序列

$$x(n)=e^{(\sigma +j{\omega }_0)n}$$

式中，${\omega }_0$为数字域频率。设$\sigma =0$，用极坐标和实部虚部表示如下式：

$$\begin{gathered} x(n)=e^{j{\omega }_{0}n} \\ x(n)=cos({\omega }_{0}n)+jsin({\omega }_{0}n) \end{gathered}$$

由于$n$取整数，下面等式成立：

$$\begin{gathered} e^{j({\omega }_0+2\pi M)n}=e^{j{\omega }_{0}n} \\ cos[({\omega }_0+2\pi M)n]=cos({\omega }_{0}n) \\ sin[({\omega }_0+2\pi M)n]=sin({\omega }_{0}n) \end{gathered}$$

上面公式中$M$取整数，所以对数字域频率而言，正弦序列和负指数序列都是以$2\pi$为周期的。在以后的研究中，在频率域只分析研究其主值区$[-\pi ,\pi ]$或$[0,2\pi ]$就够了。

周期序列

如果对所有$n$，存在一个最小的正整数$N$，使下面等式成立：

$$x(n)=x(n+mN)m为整数$$

则称序列$x(n)$为周期性序列，周期为$N$。

对于一般正弦序列与负指数序列的周期性讨论请查阅书本P9。

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P12

系统的输入、输出之间满足线性叠加原理的系统称为线性系统。

如果系统对输入信号的运算关系$T$[ · ]在整个运算过程中不随时间变化，或者说系统对于输入信号的响应与信号加于系统的时间无关，则称这种系统为时不变系统。

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P13

设系统的输入$x(n)=\delta (n)$，系统输出$y(n)$的初始状态为零，定义这种条件下的系统输出为系统单位脉冲响应。

在《信号与系统》书中称为单位序列。

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P18

如果系统$n$时刻的输出只取决于$n$时刻以及$n$时刻以前的输入序列，而和$n$时刻以后得输入序列无关，则称该系统具有因果性质，或称该系统为因果系统。

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P19

如果对有界输入，系统产生的输出也是有界的，则称该系统具有稳定性质，或称该系统为稳定系统。

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P24

模拟信号数字处理框图

$$x_a(t)\to \boxed{\text{预滤波}}\to \boxed{\text{ADC}}\to \boxed{\text{数字信号处理}}\to \boxed{\text{DAC}}\to \boxed{\text{平滑滤波}}\to y_a(t)$$

ADC(Analog/Digital Converter) 模/数转换器 DAC(Digital/Analog Converter) 数/模转换器

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P27

总结上述内容，采样定理叙述如下：

（1）对连续信号进行等间隔采样形成采样信号，采样信号的频谱是原连续信号的频谱以采样频率 ${\Omega }_s$ 为周期进行周期性的延拓形成的，用如下公式表示。

$$\begin{array}{rl}{\hat{X}}_a(j\Omega )& =\frac{1}{2\pi }{X}_a(j\Omega )\ast P_{\delta }(j\Omega )\\ & =\frac{1}{2\pi }\cdot \frac{2\pi }{T}{\int }_{-\infty }^{\infty }{X}_a(j\theta )\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\Omega -k{\Omega }_s-\theta )d\theta \\ & =\frac{1}{T}\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }{X}_a(j\theta )\delta (\Omega -k{\Omega }_s-\theta )d\theta \\ & =\frac{1}{T}\sum _{k=-\infty }^{\infty }{X}_a(j\Omega -jk{\Omega }_s)\end{array}$$

关键符号说明： ${\hat{X}}_a(j\Omega )$：采样信号的频谱； $X_a(j\Omega )$：原连续信号的频谱； $P_{\delta }(j\Omega )$：采样脉冲（冲击串）的频谱； ${\Omega }_s=\frac{2\pi }{T}$：采样角频率（$T$ 为采样周期）； $\delta (\cdot )$：单位冲击函数； $k$：整数，代表周期延拓的“副本”序号。

（2）设连续信号 $x_a(t)$ 属带限信号，最高截止频率为 ${\Omega }_c$，如果采样角频率 ${\Omega }_s\ge 2{\Omega }_c$（采样频率$F_s\ge 2f_c$），那么让采样信号 ${\hat{x}}_a(t)$ 通过一个增益为 $T$、截止频率为 ${\Omega }_s/2=\pi /T$ 的理想低通滤波器，可以唯一地恢复出原连续信号 $x_a(t)$。否则，${\Omega }_s<2{\Omega }_c$ 会造成采样信号中的频谱混叠现象，不可能无失真地恢复原连续信号。

实际中对模拟信号进行采样，需根据模拟信号的截止频率，按照采样定理的要求选择采样频率，即 ${\Omega }_s\ge 2{\Omega }_c$，但考虑到理想滤波器 $G(j\Omega )$ 不可实现，要有一定的过渡带，为此可选 ${\Omega }_s=(2+\alpha ){\Omega }_c$，$\alpha >0$。另外，可以在采样之前加一抗混叠的低通滤波器，滤除高于 ${\Omega }_s/2$ 的一些无用的高频分量和其他的一些杂散信号。这就是在模拟信号数字处理框图中采样之前加预滤波的原因。

加平滑滤波器的原因请查阅书本P32第五行

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第2章

时域离散信号和系统的频域分析

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P79

设系统初始状态为零，系统对输入为单位脉冲序列 $\delta (n)$ 的响应输出称为系统的单位脉冲响应 $h(n)$。对 $h(n)$ 进行傅里叶变换，得到：

$H(e^{j\omega })={\sum }_{n=-\infty }^{\infty }h(n)e^{-j\omega n}=|H(e^{j\omega })|e^{j\phi (\omega )}$

一般称 $H(e^{j\omega })$ 为系统的频率响应函数，或称系统的传输函数，它表征系统的频率响应特性。$|H(e^{j\omega })|$ 称为幅频特性函数，$\phi (\omega )$ 称为相频特性函数。

将 $h(n)$ 进行 $Z$ 变换，得到 $H(z)$，一般称 $H(z)$ 为系统的系统函数，它表征了系统的复频域特性。对 $N$ 阶差分方程进行 $Z$ 变换，得到系统函数的一般表示式：

$H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{{\sum }_{i=0}^M{b}_i{z}^{-i}}{{\sum }_{i=0}^N{a}_i{z}^{-i}}$

上面提到的 ”对 $h(n)$ 进行傅里叶变换“ 、”对 $h(n)$ 进行 $Z$ 变换“ 等术语，在我们学习时可不用理会，即使不学文中所说的 ”傅里叶变换“、” $Z$ 变换“ ，仍能理解相关知识点。

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第3章

离散傅里叶变换（DFT）

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P95~P98

设 $x(n)$ 是一个长度为 $M$ 的有限长序列，则定义 $x(n)$ 的 $N$ 点离散傅里叶变换为

$$X(k)=\text{DFT}[x(n)]=\sum _{n=0}^{N-1}x(n)W_N^{kn}k=0,1,\dots ,N-1$$

$X(k)$ 的离散傅里叶逆变换（Inverse Discrete Fourier Transform, IDFT）为

$$x(n)=\text{IDFT}[X(k)]=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}X(k)W_N^{-kn}n=0,1,\dots ,N-1$$

式中，$W_N=e^{-j\frac{2\pi }{N}}$ ，$N$ 称为 DFT 变换区间长度，$N\ge M$ 。

按照国际通用惯例，DFT的 $X[k]$ 用方括号，表示 $k$ 只取整数。

前面定义的 DFT 变换对中，$x(n)$ 与 $X(k)$ 均为有限长序列，但由于 $W_N^{kn}$ 的周期性，使变换式中的 $X(k)$ 和 $x(n)$ 隐含周期性，且周期均为 $N$。对任意整数 $m$，总有

$$W_N^k=W_N^{k+mN}k,m\text{ 为整数，}N\text{ 为自然数}$$

所以离散傅里叶变换式中，$X(k)$ 满足：

$$X(k+mN)=\sum _{n=0}^{N-1}x(n)W_N^{(k+mN)n}=\sum _{n=0}^{N-1}x(n)W_N^{kn}=X(k)$$

实际上，任何周期为 $N$ 的周期序列 $\tilde{x}(n)$ 都可以看做长度为 $N$ 的有限长序列 $x(n)$ 的周期延拓序列，而 $x(n)$ 则是 $\tilde{x}(n)$ 的一个周期，即

$$\tilde{x}(n)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x(n+mN)$$ $$x(n)=\tilde{x}(n)R_N(n)$$

上述关系如书本P98图 3.1.2(a) 和 (b) 所示。一般称周期序列 $\tilde{x}(n)$ 中从 $n=0$ 到 $N-1$ 的第一个周期为 $\tilde{x}(n)$ 的主值区间，而主值区间上的序列称为 $\tilde{x}(n)$ 的主值序列。因此 $x(n)$ 与 $\tilde{x}(n)$ 的上述关系可叙述为：$\tilde{x}(n)$ 是 $x(n)$ 的周期延拓序列，$x(n)$ 是 $\tilde{x}(n)$ 的主值序列。

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P99

MATLAB 提供了用快速傅里叶变换算法 FFT（算法见第 4 章介绍）计算 DFT 的函数 fft，其调用格式如下：

XK = fft(xn, N)

调用参数 xn 为被变换的时域序列向量，N 是 DFT 变换区间长度。当 N 大于 xn 的长度时，fft 函数自动在 xn 后面补零。函数返回 xn 的 $N$ 点 DFT 变换结果向量 Xk，这时，$X(k)=\text{DFT}[x(n){]}_N=\text{Xk}(k+1)$，$k=0\sim N-1$。当 N 小于 xn 的长度时，fft 函数计算 xn 的前面 $N$ 个元素组成的 $N$ 长序列的 $N$ 点 DFT，忽略 xn 后面的元素。

ifft 函数计算 IDFT ，其调用格式与 fft 函数相同，可参考 help 文件。

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P118

用 DFT 分析连续信号谱的原理示意图

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P120

在对连续信号进行谱分析时，主要关心两个问题，这就是谱分析范围和频率分辨率。

谱分析范围为 $[0,F_s/2]$，直接受采样频率 $F_s$ 的限制。为了不产生频谱混叠失真，通常要求信号的最高频率 $f_c<F_s/2$。

频率分辨率用频率采样间隔 $F$ 描述，$F$ 表示谱分析中能够分辨的两个频率分量的最小间隔。显然，$F$ 越小，谱分析就越接近 $X_a(jf)$，所以 $F$ 较小时，我们称频率分辨率较高。

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P125~P126

DFT（实际中用 FFT 计算）可用来对连续信号和数字信号进行谱分析。在实际分析过程中，要对连续信号采样和截断，有些非时限数据序列也要截断，由此可能引起分析误差。下面分别对可能产生误差的三种现象进行讨论。

（1）混叠现象

对连续信号进行谱分析时，首先要对其采样，变成时域离散信号后才能用 DFT (FFT) 进行谱分析。采样速率 $F_s$ 必须满足采样定理，否则会在 $\omega =\pi$（对应模拟频率 $f=F_s/2$）附近发生频谱混叠现象。这时用 DFT 分析的结果必然在 $f=F_s/2$ 附近产生较大误差。因此，理论上必须满足 $F_s\ge 2f_c$（$f_c$ 为连续信号的最高频率）。对 $F_s$ 确定的情况，一般在采样前进行预滤波，滤除高于折叠频率 $F_s/2$ 的频率成分，以免发生频谱混叠现象。

（2）栅栏效应

我们知道，$N$ 点 DFT 是在频率区间 $[0,2\pi ]$ 上对时域离散信号的频谱进行 $N$ 点等间隔采样，而采样点之间的频谱是看不到的。这就好比从 $N$ 个栅栏缝隙中观看信号的频谱情况，仅得到 $N$ 个缝隙中看到的频谱函数值。因此称这种现象为栅栏效应。

由于栅栏效应，有可能漏掉（挡住）大的频谱分量。为了把原来被“栅栏”挡住的频谱分量检测出来，就必须提高频率分辨率。

• 对于有限长序列：可以在原序列尾部补零；
• 对于无限长序列：可以增大截取长度及 DFT 变换区间长度。

从而使频域采样间隔变小，增加频域采样点数和采样点位置，使原来漏掉的某些频谱分量被检测出来。对连续信号的谱分析，只要采样速率 $F_s$ 足够高，且采样点数满足频率分辨率要求，就可以认为 DFT 后所得离散谱的包络近似代表原信号的频谱。

（3）截断效应

实际中遇到的序列 $x(n)$ 可能是无限长的，用 DFT 对其进行谱分析时，必须将其截短，形成有限长序列 $y(n)=x(n)w(n)$，$w(n)$ 称为窗函数，长度为 $N$。$w(n)=R_N(n)$，称为矩形窗函数。

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